[LeetCode] 87. Scramble String 扰乱字符串

We can scramble a string s to get a string t using the following algorithm:

If the length of the string is 1, stop.
If the length of the string is > 1, do the following:
- Split the string into two non-empty substrings at a random index, i.e., if the string is s, divide it to x and y where s = x + y.
- Randomly decide to swap the two substrings or to keep them in the same order. i.e., after this step, s may become s = x + y or s = y + x.
- Apply step 1 recursively on each of the two substrings x and y.

Given two strings s1 and s2 of the same length, return true if s2 is a scrambled string of s1, otherwise, return false.

Example 1:

Input: s1 = "great", s2 = "rgeat"
Output: true
Explanation: One possible scenario applied on s1 is:
"great" --> "gr/eat" // divide at random index.
"gr/eat" --> "gr/eat" // random decision is not to swap the two substrings and keep them in order.
"gr/eat" --> "g/r / e/at" // apply the same algorithm recursively on both substrings. divide at random index each of them.
"g/r / e/at" --> "r/g / e/at" // random decision was to swap the first substring and to keep the second substring in the same order.
"r/g / e/at" --> "r/g / e/ a/t" // again apply the algorithm recursively, divide "at" to "a/t".
"r/g / e/ a/t" --> "r/g / e/ a/t" // random decision is to keep both substrings in the same order.
The algorithm stops now, and the result string is "rgeat" which is s2.
As one possible scenario led s1 to be scrambled to s2, we return true.

Example 2:

Input: s1 = "abcde", s2 = "caebd"
Output: false

Example 3:

Input: s1 = "a", s2 = "a"
Output: true

Constraints:

s1.length == s2.length
1 <= s1.length <= 30
s1 and s2 consist of lowercase English letters.

这道题定义了一种搅乱字符串，就是说假如把一个字符串当做一个二叉树的根，然后它的非空子字符串是它的子结点，然后交换某个子字符串的两个子结点，重新爬行回去形成一个新的字符串，这个新字符串和原来的字符串互为搅乱字符串。这道题可以用递归 Recursion 或是动态规划 Dynamic Programming 来做，我们先来看递归的解法，参见网友 uniEagle 的博客，简单的说，就是 s1 和 s2 是 scramble 的话，那么必然存在一个在 s1 上的长度 l1，将 s1 分成 s11 和 s12 两段，同样有 s21 和 s22，那么要么 s11 和 s21 是 scramble 的并且 s12 和 s22 是 scramble 的；要么 s11 和 s22 是 scramble 的并且 s12 和 s21 是 scramble 的。就拿题目中的例子 rgeat 和 great 来说，rgeat 可分成 rg 和 eat 两段， great 可分成 gr 和 eat 两段，rg 和 gr 是 scrambled 的， eat 和 eat 当然是 scrambled。根据这点，我们可以写出代码如下（但是目前这种解法已经超时了，没法通过 OJ 了）：

解法一：

// Time Limit Exceeded
class Solution {
public:
    bool isScramble(string s1, string s2) {
        if (s1 == s2) return true;
        string str1 = s1, str2 = s2;
        sort(str1.begin(), str1.end());
        sort(str2.begin(), str2.end());
        if (str1 != str2) return false;
        for (int i = 1; i < s1.size(); ++i) {
            string s11 = s1.substr(0, i);
            string s12 = s1.substr(i);
            string s21 = s2.substr(0, i);
            string s22 = s2.substr(i);
            if (isScramble(s11, s21) && isScramble(s12, s22)) return true;
            s21 = s2.substr(s1.size() - i);
            s22 = s2.substr(0, s1.size() - i);
            if (isScramble(s11, s21) && isScramble(s12, s22)) return true;
        }
        return false;
    }
};

当然，这道题也可以用动态规划 Dynamic Programming，根据以往的经验来说，根字符串有关的题十有八九可以用 DP 来做，那么难点就在于如何找出状态转移方程。参见网友 Code Ganker 的博客，这其实是一道三维动态规划的题目，使用一个三维数组 dp[i][j][n]，其中i是 s1 的起始字符，j是 s2 的起始字符，而n是当前的字符串长度，dp[i][j][len] 表示的是以i和j分别为 s1 和 s2 起点的长度为 len 的字符串是不是互为 scramble。有了 dp 数组接下来看看状态转移方程，也就是怎么根据历史信息来得到 dp[i][j][len]。判断这个是不是满足，首先是把当前 s1[i...i+len-1] 字符串劈一刀分成两部分，然后分两种情况：第一种是左边和 s2[j...j+len-1] 左边部分是不是 scramble，以及右边和 s2[j...j+len-1] 右边部分是不是 scramble；第二种情况是左边和 s2[j...j+len-1] 右边部分是不是 scramble，以及右边和 s2[j...j+len-1] 左边部分是不是 scramble。如果以上两种情况有一种成立，说明 s1[i...i+len-1] 和 s2[j...j+len-1] 是 scramble 的。而对于判断这些左右部分是不是 scramble 是有历史信息的，因为长度小于n的所有情况都在前面求解过了（也就是长度是最外层循环）。上面说的是劈一刀的情况，对于 s1[i...i+len-1] 有 len-1 种劈法，在这些劈法中只要有一种成立，那么两个串就是 scramble 的。总结起来状态转移方程是：

dp[i][j][len] = (dp[i][j][k] && dp[i+k][j+k][len-k]) || (dp[i][j+len-k][k] && dp[i+k][j][len-k])

对于所有 1<=k<len，也就是对于所有 len-1 种劈法的结果求或运算。因为信息都是计算过的，对于每种劈法只需要常量操作即可完成，因此求解递推式是需要 O(len)（因为 len-1 种劈法）。如此总时间复杂度因为是三维动态规划，需要三层循环，加上每一步需要线行时间求解递推式，所以是 O(n^4)。虽然已经比较高了，但是至少不是指数量级的，动态规划还是有很大优势的，空间复杂度是 O(n^3)。代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
    bool isScramble(string s1, string s2) {
        if (s1 == s2) return true;
        int n = s1.size();
        vector<vector<vector<bool>>> dp (n, vector<vector<bool>>(n, vector<bool>(n + 1)));
        for (int len = 1; len <= n; ++len) {
            for (int i = 0; i <= n - len; ++i) {
                for (int j = 0; j <= n - len; ++j) {
                    if (len == 1) {
                        dp[i][j][1] = s1[i] == s2[j];
                    } else {
                        for (int k = 1; k < len; ++k) {
                            if ((dp[i][j][k] && dp[i + k][j + k][len - k]) || (dp[i + k][j][len - k] && dp[i][j + len - k][k])) {
                                dp[i][j][len] = true;
                            }
                        }
                    }                
                }
            }
        }
        return dp[0][0][n];
    }
};

上面的代码的实现过程如下，首先按单个字符比较，判断它们之间是否是 scrambled 的。在更新第二个表中第一个值 (gr 和 rg 是否为 scrambled 的)时，比较了第一个表中的两种构成，一种是 g与r, r与g，另一种是 g与g, r与r，其中后者是真，只要其中一个为真，则将该值赋真。其实这个原理和之前递归的原理很像，在判断某两个字符串是否为 scrambled 时，比较它们所有可能的拆分方法的子字符串是否是 scrambled 的，只要有一个种拆分方法为真，则比较的两个字符串一定是 scrambled 的。比较 rge 和 gre 的实现过程如下所示：

     r    g    e
g    x    √    x
r    √    x    x
e    x    x    √
 rg    ge

gr    √    x

re    x    x
 rge

gre   √

DP 的另一种写法，参考网友加载中..的博客，思路都一样，代码如下：

解法三：

class Solution {
public:
    bool isScramble(string s1, string s2) {
        if (s1 == s2) return true;
        int n = s1.size();
        vector<vector<vector<bool>>> dp (n, vector<vector<bool>>(n, vector<bool>(n + 1)));
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = n - 1; j >= 0; --j) {
                for (int k = 1; k <= n - max(i, j); ++k) {
                    if (s1.substr(i, k) == s2.substr(j, k)) {
                        dp[i][j][k] = true;
                    } else {
                        for (int t = 1; t < k; ++t) {
                            if ((dp[i][j][t] && dp[i + t][j + t][k - t]) || (dp[i][j + k - t][t] && dp[i + t][j][k - t])) {
                                dp[i][j][k] = true;
                                break;
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return dp[0][0][n];
    }
};

下面这种解法实际上是解法二的递归形式，我们用了 memo 数组来减少了大量的运算，注意这里的 memo 数组一定要有三种状态，初始化为 -1，区域内为 scramble 是1，不是 scramble 是0，这样就避免了已经算过了某个区间，但由于不是 scramble，从而又进行一次计算，从而会 TLE，感谢网友 bambu 的提供的思路，参见代码如下：

解法四：

class Solution {
public:
    bool isScramble(string s1, string s2) {
        if (s1 == s2) return true;
        int n = s1.size();
        vector<vector<vector<int>>> memo(n, vector<vector<int>>(n, vector<int>(n + 1, -1)));
        return helper(s1, s2, 0, 0, n, memo);
    }
    bool helper(string& s1, string& s2, int idx1, int idx2, int len, vector<vector<vector<int>>>& memo) {
        if (len == 0) return true;
        if (len == 1) memo[idx1][idx2][len] = s1[idx1] == s2[idx2];
        if (memo[idx1][idx2][len] != -1) return memo[idx1][idx2][len];
        for (int k = 1; k < len; ++k) {
            if ((helper(s1, s2, idx1, idx2, k, memo) && helper(s1, s2, idx1 + k, idx2 + k, len - k, memo)) || (helper(s1, s2, idx1, idx2 + len - k, k, memo) && helper(s1, s2, idx1 + k, idx2, len - k, memo))) {
                return memo[idx1][idx2][len] = 1;
            }
        }
        return memo[idx1][idx2][len] = 0;
    }
};